проект:    архи.всё -> энтропия
   Почему выполняются экстремальные принципы для энтропии и времени?
Центр Исследования Хаоса Энтропия
Архитектурный журнал
прессслужба


Лекции
Строительство

Существует не так уж много способов формального представления фундаментальных законов в теоретическом естествознании. Один из самых распространенных из них – это, так называемые, уравнения движения. Например, уравнения Ньютона в классической механике, уравнение Шредингера в нерелятивистской квантовой механике, уравнение Дирака для релятивистского случая, уравнения Эйнштейна в общей теории относительности… Уравнение движения – это постулат, изобретенный гением, имя которого становится именем фундаментального закона.

Другой распространенный способ – формулирование экстремального принципа. Например, в физике известны принцип наименьшего времени распространения света П.Ферма, принцип наименьшего действия П.Мепертюи, принцип максимальной энтропии, принцип минимума производства энтропии… В биологии известны принцип наибольшей приспособленности Ч.Дарвина, принцип максимального разнообразия, принципы максимальной экспансии, максимального потока энергии и.т.п. (см. Фурсова и соавт., 2003). Угадывание постулата-уравнения заменяется в теориях, основанных на экстремальных принципах, угадыванием (т.е. тем же постулированием) функции или функционала, поиск экстремума которых методами вариационного исчисления приводит к описанию движения или развития исследуемой системы. Теории, построенные с помощью постулатов-уравнений или постулатов-функционалов, как правило, эквивалентны друг другу. А именно, вариационные методы позволяют для любого заданного функционала выписать уравнения движения в форме уравнений Эйлера-Лагранжа, а для любого уравнения движения можно подобрать функционал, для которого оно является уравнением Эйлера-Лагранжа.

Однако, экстремальные принципы, на мой взгляд, обладают большей обобщающей и эвристической силой. Рассмотрим пример камня, брошенного под углом к горизонту. Почему он движется по параболе? Объясняя явление, можно указать на квадратичное уравнение равнопеременного движения. Само это уравнение представляет следствие второго закона Ньютона для тела, движущегося под действием постоянной силы. Возможно и более общее объяснение – через движение по геодезической линии, которая является решением уравнения Эйнштейна в общей теории относительности. И уравнение Ньютона, и уравнение Эйнштейна могут быть получены из принципа наименьшего действия. Однако, уравнение равнопеременного движения относится к узкому классу движений под действием постоянной силы, второй закон Ньютона описывает движения под действием произвольных сил в слабых полях и с невысокими скоростями, уравнение Эйнштейна уже не связаны и этими ограничениями, а принцип наименьшего действия применим ко всем формам механического, электромагнитного и ряда других движений.

Но почему же в мире действуют экстремальные принципы? Готфрид Вильгельм Лейбниц считал – потому, что мы с вами живем в "лучшем из миров". Я бы хотел додумать эту мысль – в чем конкретно наш мир так хорош, что в нем действуют экстремальные принципы. Движет мной не только любопытство, но и потребность науки в поиске законов изменчивости мира, особенно в тех исследовательских областях, для которых гениальное угадывание фундаментальных уравнений еще не свершилось.

И уравнения движения, и экстремальные принципы – это инструменты теоретического естествознания. Единственный путь построения формальной теории, открытый для теоретика, состоит в подборе математической структуры, удачно описывающей интересующий исследователя фрагмент реальности. Например, эмпирическое пространство описывают трехмерным многообразием действительных чисел. Совокупность "точечных" событий мира можно описать четырехмерным многообразием Минковского с псевдоевклидовой метрикой или метрикой, учитывающей риманову кривизну. Совокупность состояний атома принято описывать векторами в бесконечномерном гильбертовом пространстве или – равносильным образом – полем бесконечных матриц. Экологическое сообщество удобно описывать множествами со структурой разбиений.

Да и сама математика, по словам многоголового автора эпохи Н.Бурбаки (1963), представляет собой переплетение нескольких математических структур – алгебраической, топологической и структуры порядка. Для описания произвольных математических структур удобен язык математической теории категорий и функторов. Две особенности теоретико-категорного описания систем позволяют думать, что язык теории категорий более адекватен для описания реальности, нежели язык математики, основанной на теории множеств. Первая особенность – возможность оперировать сразу всей совокупностью одинаково структурированных множеств, что позволяет отождествить эту совокупность с пространством всех возможных состояний системы. Вторая особенность – та, что в категорию наряду со структурированными объектами равноправно и обязательно входят все допустимые их структурой способы изменения объектов, или преобразования состояний системы. Это позволяет заменить теоретико-множественное идеализированное представление мира в виде "застывших" объектов на адекватное миру представление его процессами.

Поиск выделенных – реально осуществляющихся – состояний систем среди всех потенциально возможных в методологии экстремальных принципов требует, во-первых, умения каким-либо образом упорядочить состояния между собой на шкале "больше-меньше", "сильнее-слабее" и т.п. и, во-вторых – выбора экстремального из этих состояний в полученном упорядочении. На языке математических структур такой поиск означает умение упорядочить структурированные множества, описывающие систему, и выбрать наиболее "сильную" (или наиболее "слабую") структуру в качестве той, что выделяет реализующееся состояние из всех возможных. Назовем сформулированное утверждение " принципом экстремальной структуры ".

Теория категорий и функторов представляет аппарат, позволяющий сравнивать по "силе структур" любые структурированные множества. Метод сравнения легче всего понять, рассмотрев предельный случай структурированных множеств – множества без структуры. Для сравнения таких множеств можно использовать такую характеристику, как количество элементов в них (синонимы – кардинальные числа множеств, мощности множеств). Любые два множества сравнимы по количеству элементов. Для множеств со структурой характеристика по количеству элементов неинформативна, поскольку никак не связана со структурой. Однако, само понятие количества элементов не первично, а возникает как математическая конструкция при сравнении множеств с помощью соответствий между ними. Термины "изменение объектов", "преобразование состояний", упомянутые в предыдущих абзацах, в данном контексте можно считать синонимами термина "соответствие". Частный случай соответствий представляют собой привычные функции, или отображения. Поясним примером метод сравнения множеств с помощью соответствий. Зададимся вопросом: чего (или кого) больше в некой комнате – стульев или людей? Один из способов ответить на этот вопрос – подсчитать количества стульев и людей, а затем сравнить полученные числа. Другой способ – установить соответствие между людьми и стульями, например, попросив, чтобы каждый из присутствующих в комнате людей занял один стул. После того, как люди рассядутся, мы сможем точно ответить больше ли в комнате стульев или людей в зависимости от того, остались ли свободными стулья или – стоящими без сидячего места люди. Замечу, что при этом мы можем не знать ни количества стульев, ни количества людей в комнате. Повторю, что процедура сравнения множеств с помощью соответствий носит более общий характер, чем подсчет количества элементов множеств.

Применение сравнения структурированных множеств с помощью преобразований (соответствий), сохраняющих имеющуюся структуру, порождает " структурные числа " структурированных множеств, обобщающие понятия кардинального числа, или "количества элементов", используемые для множеств без структуры (структурные числа превращаются в обычные количества элементов для частного случая бесструктурных множеств). Однако, структурные числа – это не конечная остановка на нашем пути к методу поиска экстремальных структур. Дело в том, что в отличие от бесструктурных множеств, которые всегда сравнимы с помощью числа элементов в них, структурированные множества могут оказаться не сравнимыми между собой, поскольку необходимые для сравнения соответствия могут существовать не для любой пары структурированных множеств. Это значит, что траектория "движения" системы от одного состояния к другому – "более сильному" – состоянию может прерваться из-за невозможности сравнить состояния, чтобы применить экстремальный принцип.

 

  . страницы:
1   
2  
3  
   
   
  . содержание:
       архи. трансформер ( развернуть и cвернуть )
      
  . архи.поиск:
  . архи.другое:
Эффект Ёлки
  . архи.дизайн:
 
  Семён Расторгуев ©  рaдизайн ©


    © М.: КЦ "Акрополь". 2004. С. 87-94. © А.П.Левич

    © 2007—2015, проект АрхиВсё,  ссылайтесь...
Всё.