проект:    архи.всё -> энтропия
   Фракталы вокруг нас
Центр Исследования Хаоса Энтропия
Архитектурный журнал
прессслужба


Лекции
Строительство

 

Математика,

если на нее правильно посмотреть,

отражает не только истину,

но и несравненную красоту.

Бертранд Рассел.

 

Вы, конечно же, слышали о фракталах. Вы, конечно же, видели эти захватывающие картинки из Bryce3d более реальные, чем сама реальность. Горы, облака, кора дерева - все это выходит за рамки привычной евклидовой геометрии. Мы не можем описать камень или границы острова с помощью прямых, кружков и треугольников. И здесь нам приходят на помощь фракталы. Что же это за знакомые незнакомцы? Когда они появились?

 

История появления.

 

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии (рисунок №1). Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

[Построение кривой Пеано 1,2,3, 4,...6 итерации.]

 

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных выше (Броуновское движение, цены на акции).

 

Отец фракталов

 

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.

 

Что же такое фрактал. Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно).

 

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальная геометрия природы") ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.

 

Немного о размерностях.

 

В своей повседневной жизни мы постоянно встречаемся с размерностями. Мы прикидываем длину дороги ( 250 м ), узнаем площадь квартиры ( 78 м2 ) и ищем на наклейке объем бутылки пива (0.33 дм3). Это понятие вполне интуитивно ясно и, казалось бы, не требует разъяснения. Линия имеет размерность 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью 1 числа - положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий - окружность, квадрат, парабола и т.д.

 

Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами. Не надо думать, что двумерный - значит плоский. Поверхность сферы тоже двумерна (ее можно определить с помощью двух значений - углов наподобие ширины и долготы).

 

Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом: для одномерных объектов - увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров (в данном случае длинны) в два раза (2^1).

 

Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (например, площадь прямоугольника) в четыре раза (2^2).

 

Для 3-х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводи к увеличению объема в восемь раз (2^3) и так далее.

 

Таким образом, размерность D можно рассчитать исходя из зависимости увеличения "размера" объекта S от увеличения линейных размеров L. D=log(S)/log(L). Для линии D=log(2)/log(2)=1. Для плоскости D=log(4)/log(2)=2. Для объема D=log(8)/log(2)=3. Может быть немного запутано, но в общем-то несложно и понятно.

 

Зачем я это все рассказываю? А для того чтобы понять, как отделять фракталы от, скажем, колбасы. Попробуем посчитать размерность для кривой Пеано. Итак, у нас исходная линия, состоящая из трех отрезков длинны Х, заменяется на 9 отрезков втрое меньшей длинны. Таким образом, при увеличении минимального отрезка в 3 раза длина всей линии увеличивается в 9 раз и D=log(9)/log(3)=2 - двумерный объект!!!

 

Фрактал это ...

 

Так вот, когда размерность фигуры получаемой из каких-то простейших объектов (отрезков) больше размерности этих объектов - мы имеем дело с фракталом.

 

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

* {геометрические фракталы}

* {алгебраические фракталы}

* {системы итерируемых функций}

* {стохастические фракталы.}

Геометрические фракталы.

 

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

  . страницы:
1   
2  
3  
>  
   
  . содержание:
       архи. трансформер ( развернуть и cвернуть )
      
  . архи.поиск:
  . архи.другое:
проект Которосль
  . архи.дизайн:
 
  Семён Расторгуев ©  рaдизайн ©


    © Саква Денис Юрьевич


    © 2007—2015, проект АрхиВсё,  ссылайтесь...
Всё.