проект:    архи.всё -> энтропия
   ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ВВЕДЕНИЕ В КАЧЕСТВЕННУЮ ТЕОРИЮ И ТЕОРИЮ БИФУРКАЦИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Центр Исследования Хаоса Энтропия
Архитектурный журнал
прессслужба


Лекции
Строительство

 

Рассматриваются основные вопросы качественной теории двумерных динамических систем в элементарном изложении. Приводятся основные сведения о циклах одномерных отображений. Цель статьи - вызвать интерес ушкольников и учителей к этой сложной математической теории.

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ВВЕДЕНИЕ

В КАЧЕСТВЕННУЮ ТЕОРИЮ

И ТЕОРИЮ БИФУРКАЦИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В. Н. БЕЛЫХ

 

Волжская государственная академия водного транспорта, Нижний Новгород

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Наша конечная цель - познакомиться с основами математической теории хаоса в динамических системах без случайных воздействий. Явление динамического хаоса в настоящее время обнаруживают практически во всех областях знаний, где возможно математическое моделирование, ему посвящено огромное число научных статей, книг и отдельных международных журналов, таких, как "Chaos". Ясно, что представить сложную математическую теорию, не углубляясь в математику, даже в самом элементарном изложении, - задача не простая, и одной статьи здесь недостаточно. Поэтому разговор о самом явлении хаоса мы будем вести и дальше, а здесь будет представлено введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем, составляющих основу языка, на котором говорят современные специалисты по хаотической динамике в различных областях знаний.

 

Любые системы, состояние которых изменяется во времени, называют динамическими. В математике под динамическими системами понимают дифференциальные уравнения и отображения.

 

Это не случайно, поскольку в математике большинство уравнений динамики как фундаментальных - Ньютона и Гамильтона в механике и Максвелла в электродинамике, - так и феноменологических, например Ходжкина-Хаксли в биофизике нейрона, Лотки-Вольтера в экологической задаче хищник-жертва и Леонтьева в модели развивающейся экономики, записываются в форме дифференциальных уравнений, а компьютерные представления последних - в форме разностных уравнений, то есть отображений.

 

Основы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем были заложены в трудах великого французского ученого Анри Пуанкаре, который первым понял, что можно, не интегрируя дифференциальных уравнений, представить все основные качественные особенности поведения его решений.

 

Мы рассмотрим простейшие динамические системы: системы дифференциальных уравнений второго порядка и одномерные отображения, а затем в качестве предисловия к следующей статье обсудим возможности применения представленной информации к теории хаоса.

 

К сожалению, даже в популярной форме ответить на вопрос о том, что такое хаос в динамической системе и как он возникает, невозможно без основных понятий из теории дифференциальных уравнений и отображений. Поэтому наберемся терпения и постараемся освоить азы теории динамических систем. Зато потом это окупится: разобравшись в азах, мы сможем понять главное о хаосе.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

Начнем с самого простейшего уравнения первого порядка

Слева в этом уравнении - производная по времени (независимой переменной), справа - непрерывная гладкая функция переменной x и постоянного параметра l. Решить уравнение (1) означает найти функцию

 

x = S (t, x0 , l),

которая при подстановке в (1) обращает это уравнение в тождество. Величина x0 в (2) есть начальное условие, удовлетворяющее соотношению

 

x0 = S (0, x0 , l).

Константа x = c обращает производную в нуль, и если она одновременно служит решением уравнения

 

F (x, l) = 0,

то x = c есть решение уравнения (1), называемое состоянием равновесия.

 

Теперь если F > 0, то x(t) возрастает, а если F

 

Состояния равновесия C1 и C3 устойчивы, а C2 неустойчиво. На рис. 1 видно, что если производная , то состояние равновесия устойчиво, а если , то неустойчиво.

Следует заметить, что аналитически решения уравнения (1) можно представить в виде неопределенного интеграла

Однако для качественного анализа этот интеграл не нужен, более того, такие интегралы, как правило, не берутся.

 

Пример 1. Линейное уравнение

 

имеет решение x(t) = x0elt, определяющее экспоненциальный рост (убывание), если l > 0 (l 0) и распада ядра (l 0.

  . страницы:
1   
2  
3  
4  
>  
  . содержание:
       архи. трансформер ( развернуть и cвернуть )
      
  . архи.поиск:
  . архи.другое:
проект Которосль
  . архи.дизайн:
 
  Семён Расторгуев ©  рaдизайн ©


    © БЕЛЫХ В.Н. , 1997


    © 2007—2015, проект АрхиВсё,  ссылайтесь...
Всё.