проект:    архи.всё -> энтропия
   Методы вычисления стохастических характеристик
Центр Исследования Хаоса Энтропия
Архитектурный журнал
прессслужба


Лекции
Строительство

 

2.1 Требования к исходным данным

Для вычисления таких статистических средних, как размерность, энтропия, спектр показателей Ляпунова, и других характеристик аттрактора, необходимо иметь множество точек, определенных в фазовом пространстве размерности n и принадлежащих аттрактору. Число точек M в расчетах конечно, но обязано быть достаточно большим.

В случае, когда динамическая система задана дискретным оператором отображения, точки находятся автоматически после задания начальных условий. Если динамическая система задана системой дифференциальных уравнений, то в общем случае решение может быть найдено только численным интегрированием системы на компьютере. Обычно используют метод Рунге-Кутта 4-го порядка, погрешность задают 10-4-10-8, шаг счета определяется конкретной системой и должен быть выбран в сравнении с наименьшим из ее характерных времен.

 

Однако часто требуется вычислить характеристики аттрактора некоторой реальной системы, математическая модель которой неизвестна. При этом, как правило, неизвестна и размерность ее фазового пространства. В этой ситуации мы располагаем информацией о поведении во времени какой-либо одной из динамических переменных. К тому же и интервал времени экспериментальной реализации естественно ограничен. Можно ли в таких условиях получить характеристики аттрактора?

 

Путь к решению этой проблемы был предложен Такенсом. В [41] доказано, что почти для всех гладких динамических систем по имеющейся временной реализации одной наблюдаемой динамической переменной можно сконструировать новый аттрактор, основные свойства которого будут такими же, как у исходного.

 

2.2 Восстановление аттрактора по временному ряду

Пусть имеется временной ряд экспериментальных данных, представляющий собой отсчеты некоторой физической величины: . Если известен шаг по времени , то время t = k*. Предполагается, что физическая величина s является одной из переменных динамической системы. Система находится в стационарном режиме, т.е. фазовая траектория проходит внутри аттрактора. Для восстановления аттрактора Такенсом предложен метод временной задержки координат. В n-мерном фазовом пространстве строится последовательность точек.

Основной результат Такенса состоит в следующем. Если , то множество точек задает вложение исходного аттрактора почти при любом выборе наблюдаемой переменной, если n не меньше удвоенной размерности исходного аттрактора. Для оценки характеристик реального исследуемого аттрактора можно вычислять характеристики восстановленного аттрактора. С целью уменьшения ошибки, обусловленной конечностью набора экспериментальных точек , необходимо проводить расчеты при нескольких различных значениях M и n и добиваться независимости получаемых оценок характеристик от M и n в пределах заданной точности.

 

2.3 Выбор временной задержки

Для малых шагов по времени значения sk и sk+1 будут близкими, поэтому большое значение приобретает правильный выбор временной задержки . Необходимо стремиться выбрать так, чтобы корреляция между sk и была по возможности минимальной. Традиционный способ выбора временной задержки состоит в вычислении автокорреляционной функции временного ряда

 

Задержка выбирается равной времени первого пересечения нуля автокорреляционной функции. Второй способ [21] требует вычисления спектра мощности временного ряда, т.е. быстрого преобразования Фурье автокорреляционной функции. Если в спектре мощности присутствуют кратные пики, то задержка выбирается равной четверти периода самой высокой из доминирующих частот. Третий способ [23] основан на вычислении средней взаимной информации между двумя измерениями. Пусть даны два множества измерений A и B. Взаимная информация между элементом ai множества A и элементом bj множества B определяется как количество информации, которое имеют измерения ai и bj по отношению к друг другу

Если измерения независимы, то взаимная информация равна нулю.

Заменяя ai и bj на sk и соответственно, получаем среднюю взаимную информацию как функцию временной задержки . Задержка выбирается равной времени первого минимума во взаимной информации.

 

2.4 Алгоритм вычисления корреляционной размерности аттрактора

В случае модельных данных, когда нам известна размерность n фазового пространства динамической системы и все n координат каждой точки на аттракторе, корреляционную размерность D2 аттрактора находят следующим образом [26, 28].

Рассмотрим корреляционный интеграл C(r), показывающий относительное число пар точек аттрактора, находящихся на расстоянии, не большем r

 

функция Хевисайда:

расстояние в n-мерном фазовом пространстве,

число точек xi на аттракторе.

Если выполняется условие то D2 считают корреляционной размерностью аттрактора.

Справедливость приведенного степенного закона ограничена значениями r, достаточно малыми по сравнению с размером аттрактора. При увеличении r величина C(r) достигает насыщения (при r, сравнимых с размером аттрактора). С другой стороны, при очень малых значениях r число пар точек xi,xj , расстояние между которыми не превышает r, становится малым (из-за конечности числа точек на аттракторе) и статистика становится бедной. Кроме того, приобретает решающее значение влияние инструментальных ошибок измерения сигнала. Следовательно, на практике степенной закон выполняется только в ограниченном диапазоне значений r (скейлинговом диапазоне), который и может быть использован для определения размерности аттрактора.

получаем оценку размерности аттрактора как тангенс угла наклона прямой, аппроксимирующей график корреляционного интеграла C(r) в двойном логарифмическом масштабе.

 

  . страницы:
1   
2  
>  
   
   
  . содержание:
       архи. трансформер ( развернуть и cвернуть )
      
  . архи.поиск:
  . архи.другое:
проект Которосль
  . архи.дизайн:
 
  Семён Расторгуев ©  рaдизайн ©


    © Data Processing Lab., IMPB RAS


    © 2007—2015, проект АрхиВсё,  ссылайтесь...
Всё.