проект:    архи.всё -> энтропия
   Асимптотика простейших аттракторов уравнения второго порядка при больших значениях запаздывания
Центр Исследования Хаоса Энтропия
Архитектурный журнал
прессслужба


Лекции
Строительство

 

Рассматриваются динамические свойства дифференциально-

разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием и

ступенчатой нелинейностью. В работе сформулированы условия, при

которых такое уравнение имеет аттрактор, состоящий из решений

импульсного типа, т.е. имеющих не более одного всплеска на отрезках

длины 1. Как оказалось, необходимым условием существования таких

решений является отсутствие осцилляции в линейной части уравнения.

В настоящей работе изучено дифференциальное уравнение второго поряд-

ка с запаздывающей обратной связью:

x + c ˙x + x = f(x(t − T)),(1)

где параметр c положителен, величина запаздывания T предполагается до-

статочно большой:

T1,

а нелинейность ступенчатого типа f(s) определяется формулой:

f(s) =1, a ≤ s ≤ b,

0, s < a или s > b,

0 ≤ a < b ≤ 1.(3)

Отличительной особенностью такой нелинейности является простота реали-

зации в задачах радиофизики и электротехники [1-4]. Однако, несмотря на

простоту, такие уравнения обладают богатой динамикой.

В основе исследований лежит специальный асимптотический метод, раз-

работанный в [5-8]. Суть его состоит в следующем. В фазовом пространстве

рассматриваемого уравнения фиксируется, исходя из специфики задачи, мно-

жество начальных функций C(N), зависящее от некоторого параметра N.

1

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных иссле-

дований (проект 01-01-00969)

Затем последовательно при t ∈ [0, T], t ∈ [T, 2T], . . . анализируется асимпто-

тика всех решений с начальными условиями из C(N). После этого удается

определить некоторый оператор Π (типа оператора последования Пуанкаре)

так, что каждое решение из C(N) в некоторый момент времени попадает

в C(¯N). Как оказывается, значение

¯N с точностью до некоторых асимпто-

тически малых величин аналитически выражается через N :

¯N = G(N).

После этого задача о динамике рассматриваемых решений сводится к дина-

мике отображения

¯

N = G(N). Отметим, для примера, что периодическим

траекториям этого отображения отвечают периодические решения исходного

уравнения той же устойчивости.

Прежде всего отметим, что в работах [9-10] исследована динамика урав-

нения первого порядка

˙x + x = f(x(t − T))

(4)

с нелинейностью (3) и при том же условии большого запаздывания. Бы-

ли сформулированы условия, при которых такое уравнение имеет аттрактор,

состоящий из решений импульсного типа, т.е. имеющих не более одного

всплеска на отрезках длины 1. В настоящем разделе результаты работ [9-

10] обобщены на уравнение второго порядка. Необходимым условием такого

обобщения является отсутствие осцилляции в линейной части уравнения,

т.е. условие

δ =12c > 1.

(5)

В уравнении (1) удобно сделать нормировку времени t → Tt, в результате

которой приходим к уравнению

ε2x + 2δε ˙x + x = f(x(t − 1)),

(6)

где ε = T−1 1.

Остановимся на изучении решений "импульсного"типа (т.е. имеющих не

более одного всплеска на отрезках длины 1).

Рассмотрим множество начальных функций C(z):

C(z) = φ(s, z) ∈ C1[−1,0],

φ(s, z) ∈ [a, b], при − 1 ≤ s ≤ −1 + εz,

φ(s, z) < a, при − 1 + εz < s ≤ 0,

φ(0, z) = a} .

График функции φ(s, z)

  . страницы:
1   
2  
3  
4  
>  
  . содержание:
       архи. трансформер ( развернуть и cвернуть )
      
  . архи.поиск:
  . архи.другое:
проект Которосль
  . архи.дизайн:
 
  Семён Расторгуев ©  рaдизайн ©


    © Д.С. Кащенко


    © 2007—2015, проект АрхиВсё,  ссылайтесь...
Всё.