Аннотация.

В настоящей статье дается обзор ряда работ, посвященных изучению ком-

пактных глобальных аттракторов абстрактных диссипативных динамиче-

ским системам (как автономным, так и неавтономным), и некоторым их

приложениям. Здесь затрагивается круг вопросов, который отражает научные интересы автора.

 

В приложениях часто встречаются системы

dxdt= f(t,x)

(1)

у которых из-за естественной диссипации каждое решение в некоторый мо-

мент времени попадает в фиксированную ограниченную область и в ней

остается при дальнейшем возрастании времени. Такие системы называют

диссипативными [21], [104]. Решения диссипативной системы иногда назы-

вают предельно (финально) ограниченными.

Диссипативные системы возникают в гидродинамике, в теории колеба-

ний, биологии, радиотехнике, небесной механике и других областях науки

и техники в связи с изучением различных предельных режимов.

Изучению диссипативных систем, начиная с классических работ Левин-

сона [104], посвящено огромное количество работ. До 70-х годов в абсо-

лютном большинстве этих работ изучались в основном периодические или

автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений в конеч-

номерном пространстве, обладающие свойством диссипативности. Эти ре-

зультаты отражены в монографиях [19], [20], [21], [120].

Последние 20-25 лет идеи и методы развитые в теории конечномерных

диссипативных систем активно проникают в теорию бесконечномерных си-

стем [47], [53], [77], [80], [26], [98], [114], [115], [117], [10], [62]. Изучение

бесконечномерных диссипативных систем стимулировалось потребностями

функционально-дифференциальных уравненй [26], [95], [94], [98] и дифферен-

циальных уравнений с частными производными [56], [97], [103], [13], [115],

[116]. Здесь, также как и для обыкновенных дифференциальных уравнений,

рассматривались периодические и автономные системы. Результаты, полу-

ченные в этих областях отражены в монографиях [26], [3], [97], [103], [116] и

обзорах [93], [95], [14], [55], [98].

Если правая часть f уравнения (1) непериодична, например, квазипери-

одична (почти периодична по Бору, рекуррентна в смысле Биркгофа, почти

периодична по Левитану, устойчива по Пуассону) или более сложным об-

разом зависит от времени, то ситуация здесь значительно усложняется уже

в классе почти периодических систем. Это обусловлено по крайней мере

двумя причинами.

Во-первых, определение диссипативности в неавтономном случае необ-

ходимо уточнить, так как определение Левинсона в классе непериодических

систем расщепляется на несколько неэквивалентных друг другу понятий и

необходимо выбрать из них то, которое позволяет построить достаточно со-

держательную теорию, которая содержала бы в качестве частного случая

наиболее существенные результаты, полученные для периодических диссипативных систем