проект:    архи.всё -> энтропия
   Моделирование хаотического поведения динамических систем
Центр Исследования Хаоса Энтропия
Архитектурный журнал
прессслужба


Лекции
Строительство

 

Анализ орбит отображения позволяет сделать вывод о том, что их характер существенным образом изменяется при изменении параметра r. При r орбиты после переходного процесса достигают некоторого значения устойчивого значения (неподвижной точки, называемой аттрактором). При r = 0.8 после переходного процесса орбита отображения становится строго периодической c периодом 2. При r = 0.9 орбита представляет собой более сложное движение.

 

Изменение характера орбиты наиболее наглядно демонстрирует график зависимости = . Для его построения проводим вычисления орбит при различных значениях параметра роста r.

 

- задание числа итераций

- задание числа значений переменной r

- задание номера итерации, начиная с которого сохраняются значения итерации в матрице B

 

Построение зависимости итерированных значений от параметра роста r

 

Из зависимостей, представленных на данных рисунках, что при значении параметра роста r = происходит расщепление (бифуркация) неподвижной точки x* на два осциллирующих значения x1* и х2*. (Говорят, что пара величин х1* и х2* образует устойчивый аттрактор с периодом равным 2). Следующая бифуркация (ращепление каждой из точек х1* и х2* на две) происходит в точке r = 0.8623. Из представленной зависимости также видно возникновение периодического движения внутри областей хаоса при значениях параметра роста r>0.95.

 

Для понимания отличий нехаотического и хаотического режима отображения (2) сравним орбиты с близкими начальными условиями в этих режимах. В качестве меры этого отличия естественно выбрать модуль разности между значениями соответствующих орбит отображения, отнесенный к значению одной из орбит.

 

- задание количества итераций

- задание начального приближения для первой орбиты

- задание начального приближения для второй орбиты

 

- вычисление орбит для r =0.76

- вычисление орбит для r =0.93

Из представленных зависимостей очевидно, что в нехаотическом режиме отличие в траекториях проявляется в переходном режиме, причем ее величина на превосходит 0.0015%. В хаотическом режиме начиная с 25 итерации происходит "разбегание" траекторий.

 

Удвоение периода орбиты.

 

Объяснение обнаруженной зависимости динамического поведения орбиты отображения от параметра роста r может быть дано с помощью графического метода итерирования функции f(x,r). Построим график функции f(x,r) и проведем прямую, соответствующую функции y = x.

 

- определение дискретной переменной для построения графика функции f(x,R) и прямой

- задание значения параметра роста

 

Как легко убедиться, используя режим курсора прямая пересекает график функции f(x,0.6) в двух точках: x1* = 0 и х2* = 0.58333. Повторение итераций для этих точек дает постоянную последовательность. Если точка не является одной из неподвижных точек, то орбита находится в соответствии со следующим алгоритмом. Сначала проводится вертикальная прямая из точки с координатами {} до пересечения с кривой f(x,0.6) в точке {}. Затем проводится горизонтальная прямая из точки {} до пересечения с прямой в точке {}. Так как на этой прямой значение y равно значению х, то значение х в точке пересечения является первой итерацией = . Аналогично находится вторая итерация. Из точки {} проводим вертикальную прямую до пересечения с графиком функции f(x,0.6). Фиксируем точку и проводим горизонтальную прямую до пересечения с наклонной прямой. Значение координаты х в точке пересечения дает . Дальнейшие итерации находят повторяя описанную процедуру:

 

1) двигаются по вертикали до пересечения с кривой y = f(x,0.6)

2) двигаются по горизонтали до пересечения с прямой x = y

3) повторяются шаги, описанные в пунктах 1,2.

 

- начальное приближение

- вычисление орбиты отображения

- вычисление массивов, описывающих ступенчатую функцию

- значение неподвижной точки

 

Варьированием начального приближения непосредственно можно убедиться в том, что при любом начальном приближении итерационный процесс будет сходиться к точке x2* = 0.5833. Это свидетельствует о том, что неподвижная точка x1* = 0 является неустойчивой. Для объяснения различия между неподвижными точками x1* и х2* сравним значения производных в функции f(t,R) в этих точках.

 

- определение производной функции f(x,t)

- значение модуля производной в точке х1*

- значение модуля производной в точке х2*

  . страницы:
1   
2  
>  
   
   
  . содержание:
       архи. трансформер ( развернуть и cвернуть )
      
  . архи.поиск:
  . архи.другое:
проект Которосль
  . архи.дизайн:
 
  Семён Расторгуев ©  рaдизайн ©


    © С.В.Поршнев


    © 2007—2015, проект АрхиВсё,  ссылайтесь...
Всё.